Question

用分析法证明:三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)

Answer 1

因为三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列，所以2B=a+c
所以B=60%
根据余弦定理：b的平方=c的平方+a的平方-2ac*cosB
因为cosB=cos60%=1/2
所以b的平方=c的平方+a的平方-ac
假设1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立
则(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)=3
同时两边减去2
(a+b+c)/(a+b)-1+(a+b+c)/(b+c)-1=1
分母有理化
(a+b+c)/(a+b)-(a+b)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)-(b+c)/(b+c)=1
c/(a+b)+a/(b+c)=1
c/(a+b)+a/(b+c)=(a+b)(b+c)/(a+b)(b+c)
通分
c(b+c)+a(b+a)=(a+b)(b+c)
化简
b的平方=c的平方+a的平方-ac
所以当三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列时，1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)等式成立.