Question

跪求初中或是高中的数学几何：一个三角形的几何问题

一个三角形，2条边长分别为b,c，第三条边长为2f，中点在第三条边长为2f的边上，这个三角形的中线长度为a，其中中线和边长为b的那条边的夹角为B，中线和边长为c的那条边的夹角为C，求f为多少，用,a,b,c表示？其实就是根据下面的三个公式求出f用那三个已知边长表示
根据余弦定理，得：
f^2=b^2+a^2-2abcosB
f=√(b^2+a^2-2abcosB) 或者
f^2=a^2+c^2-2accosC
f=√(a^2+c^2-2accosC)

Answer 1

解：由b,c两条边的交点(A)向f所在的边作垂线，垂足为E，而中线与f所在的边交点为D，设DE的长度为 x
根据勾股定理有：AE^2=c^2-(f+x)^2 ①
AE^2=b^2-(f+x)^2 ②
AE^2=a^2-x^2 ③
由1，2式整理： c^2-b^2=4fx
由2，3式整理： 2fx=a^2-b^2+f^2
所以 c^2-b^2=2(a^2-b^2+f^2)
2(a^2+f^2)=b^2+c^2
所以 f=√(b^2+c^2-2a^2)/2

Answer 2

用平行四边形公式：对角线平方和＝四个边的平方和
（2a）²+（2f）²＝2b²+2c². f＝√[2b²+2c²-4a²]/2