Question

球的半径为R，求球内接正三棱锥的体积的最大值

Answer 1

设三棱锥的底面为等边三角形，底面边长为a，高为h，则球内接正三棱锥的顶点到球心的距离为r=R-h，根据勾股定理可得三棱锥的高$l=\\sqrt{a^2-r^2}$。三棱锥的体积$V=\\frac{1}{3}Sh=\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{4}a^2\\cdot\\sqrt{a^2-R^2+h^2}$，其中$S$为三棱锥底面积。将$h$用$r=R-h$代入可得$V=\\frac{\\sqrt{3}}{12}a^2\\sqrt{4R^2-a^2}$。要求满足$R-h\\geq\\frac{a}{\\sqrt{2}}$，即$R-\\sqrt{R^2-\\frac{a^2}{2}}\\geq\\frac{a}{\\sqrt{2}}$。移项可得$a^2\\leq2(R+\\sqrt{2R^2})R$。因此，三棱锥的体积$V=\\frac{\\sqrt{3}}{12}a^2\\sqrt{4R^2-a^2}$的最大值为$\\frac{\\sqrt{3}}{12}\\cdot 2R^2\\cdot\\sqrt{2}$，即$V_{\\max}=\\frac{\\sqrt{6}}{6}R^3$。

Answer 2

一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径。球体是有且只有一个连续曲面的立体图形，这个连续曲面叫球面。
球体在任意一个平面上的正投影都是等大的圆，且投影圆直径等于球体直径。地球的形状是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体。
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
球面所围成的几何体叫做球体，简称球。
半圆的圆心叫做球心。
连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。
连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：
1
球心和截面圆心的连线垂直于截面。
2
球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。
半径为r的球体，在空间直角坐标系中的方程是：r^2=a^2+b^2+c^2。
半径是R的球的体积计算公式：V=4πr^3/3。
半径为R的球体的表面积的公式：S=4πr^2。
希望我能帮助你解疑释惑。
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Answer 3

设正三棱锥的底面边长为a，高为h，则根据勾股定理可得正三棱锥的高为$ \\sqrt3/2 a$。而球内接正三棱锥的所有顶点都在球的表面上，因此，该正三棱锥的底面半径为R，高为$ \\sqrt3/2 a$。根据正三棱锥的体积公式，可得正三棱锥的体积为$V = \\frac{1}{3}ah$。将$ h = \\sqrt3/2 a$代入可得$V = \\frac{\\sqrt3}{12}a^3$。为了使正三棱锥的体积最大，需要最大化底面边长a。根据球几何知识，正三棱锥的底面边长最大值为$\\frac{2\\sqrt2}{3}R$。将其代入$V = \\frac{\\sqrt3}{12}a^3$可得正三棱锥的体积最大值为$\\frac{2\\sqrt6}{27}R^3$。因此，球内接正三棱锥的体积最大值为$\\frac{2\\sqrt6}{27}R^3$。

Answer 4

解：设正三棱锥S-ABC内切于球,球心为O
若正△ABC的一中线为AD,重心为G,
则高SG经过点O，
又设正三棱锥的棱长为12a，
则AB=BC=SA=12a
可求得：BD=6a，AD=6（根号3）a
AG=4（根号3）a，SG=4（根号6）a
∵球半径OG=R，∴OS=4（根号6）a-R
∵OA=OS，∴OA=4（根号6）a-R
在Rt△OAG中，∵OA²=OG²+AG²
∴[4（根号6）a-R]²=R²+[4（根号3）a]²
∴a=（根号6）R/6
∴正三棱锥S-ABC的体积V
=△ABC的面积乘以高SG除以3
=（BC×AD×SG）/6
=[12a×6（根号3）a×4（根号6）a]÷6
=144（根号2）a³
=8（根号3）R³