Question

在数列{an}中，a1=1,a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2n.设bn=an/n,求数列{bn}的通项公式

Answer 1

a(n+1)=(1
+1/n)an
+(n+1)/(2n)=[(n+1)/n]an
+(n+1)/2
等式两边同除以n+1
a(n+1)/(n+1)=an/n
+(1/2)
a(n+1)/(n+1)
-an/n
=1/2，为定值。
a1/1=1/1=1
数列{an/n}是以1为首项，1/2为公差的等差数列。
bn=an/n
数列{bn}是以1为首项，1/2为公差的等差数列。
bn=1+(1/2)(n-1)=(n+1)/2
an/n=(n+1)/2
an=n(n+1)/2=(1/2)(n²+n)
Sn=a1+a2+...+an
=(1/2)[(1²+2²+...+n²)+(1+2+...+n)]
=(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6
+n(n+1)/2]
=(1/2)[n(n+1)/6](2n+1+3)
=n(n+1)(n+2)/6