Question

高等数学 定积分

∫下限（-π/4） 上限（π/4）（x/(1+sinx))dx 怎么做，要过程

Answer 1

奇函数的定积分(在对称区间上) = 0

如图，分部积分法+凑微分法

Answer 2

0到π/4，和-π/4，0分开， 在把-π/4，0的x用-x代，因此可以的但两个区间都是求0到π/4，就是求-2xsinx/(cosx)^2的积分， 令u=2x, v`=-sinx/(cosx)^2, v=1/cosx. 再求一下2/cosx的积分， 2/cosx=2cosx/(1-(sinx)^2)=cosx/(1-sinx)+cosx/(1+sinx). 结果是0到π/4，计算2x/cosx-ln(1+sinx)+ln(1-sinx). 结果大概就是sqrt(2)π/2+ln(3-2sqrt(2)). sqrt是开根号。
声明我不知道答案，所以不知道结果对不对。。
如果觉得满意，及给分吧。

Answer 3

分步积分得∫xdx/(1+sinx)=-2x/[1+tan(x/2)]+2∫dx/[1+tan(x/2)]
令X=∫cos(x/2)/[sin(x/2)+cos(x/2)]dx Y=∫sin(x/2)/[sin(x/2)+cos(x/2)]dx
则X+Y=x+C1 X-Y=2In|sin(x/2)+cos(x/2)|+C2
∴∫xdx/(1+sinx)=-2x/[1+tan(x/2)]+2X
=-2x/[1+tan(x/2)]+x+2In|sin(x/2)+cos(x/2)|+C
=xtan(x/2-π/4)+In(1+sinx)+C
代入积分上下限得定积分=-π/2^(1/2)+2In[1+2^(1/2)]

Answer 4