Question

求y〃-y′=x²的通解

Answer 1

求微分方程
y''-y′=x²的通解
解：齐次方程y''-y'=0的特征方程
r²-r=r(r-1)=0的根：r₁=0；r₂=1；
因此齐次方程的通解为：y=C₁+C₂e^x.
设原方程的特解y*=ax³+bx²+cx
则y*'=3ax²+2bx+c；y*''=6ax+2b；代入原式得：
6ax+2b-(3ax²+2bx+c)=-3ax²+(6a-2b)x+2b-c=x²
故-3a=1，即a=-1/3；6a-2b=-2-2b=0，故b=-1；2b-c=-2-c=0,故c=-2;
于是得特解：y*=-(1/3)x³-x²-2x;
∴原方程的通解为：y=C₁+C₂e^x-(1/3)x³-x²-2x;