Question

这题怎么证明？

Answer 1

(x-y)^2≥0
x^2-2xy+y^2≥0
x^2+2xy+y^2=(x+y)^2≥4xy
两边同时除以xy（x+y）
(x+y)/xy=1/x+1/y≥4/(x+y)

Answer 2

我们可以逆推：

要证明1/x+1/y≥4/(x+y)
只有证明(x+y)/xy≥4/(x+y)即可
因为x>0,y>0 所以x+y>0,xy>0

只要证明（x+y）²≥4xy即可
因为（x-y）²≥0
即x²-2xy+y²≥0
所以有x²+y²≥2xy ===>x²+2xy+y²≥4xy
即（x+y）²≥4xy，所以上面就证明可以了，写的时候就倒着写
证明 ∵x>0,y>0 所以x+y>0,xy>0
又 ∵（x-y）²≥0
∴（x+y）²≥4xy
∴x+y≥4xy/x+y
∴(x+y)/xy≥4/x+y
即1/x+1/y≥4/(x+y)