Question

关于高等数学一道求极限的题

求极限什么时候可以把极限值直接带进去？为什么我用两种思路做出来两种答案？（题目及思路如图）

Answer 1

在你进行局部极限（也就是把部分式子的极限带进去）时，你忽略了一个无穷小，而这个无穷小必须不影响精度

比较两个方法

左边

右边

显然左右两侧不同的在于你再右侧多忽略了一项2xe^2x

如果把右侧也分子分母同除以x后得到的分子就是

右侧：2e^(2x) -2 ~ 2(1+2x) -2 = 4x  ---和x同阶

左侧: 2e^(2x) -2 +2xe^(2x)

此时被你多略去的项2xe^(2x) ~ 2x(1+2x) =2x

可见你略去的无穷小和当前式子同阶，当然会错

总结一下：你只能略去当前式子的高阶无穷小，不能略去低阶或者同阶无穷小

至于怎么判断是高阶或者同阶，这个我只是靠经验，没有规律给你

追问

恍然大悟，十分感谢😊