Question

一道中学数学题

已知关于x的方程x^2-6x+(a-2)|x-3|+9-2a=0有两个不同的实数根,则实数的取值范围是()
A a=2或a>0 B a<0 C a>0或a=-2 D a=-2
答案是 C
我算出 |x-3|=2 或 |x-3|=-a 哪么a怎么能为>0能? 请详解,谢谢

Answer 1

x^2-6x+(a-2)|x-3|+9-2a=0
|x-3|2+(a-2)|x-3|-2a=0
(|x-3|-2) (|x-3|+a)=0
得：|x-3|=2 或 |x-3|=-a
若：-a>0且-a≠2时，方程则有4个实根: x1=1,x2=5,x3=3+a,x4=3-a
若：-a<0时，方程则有2个实根：x1=1,x2=5
若：-a=0时，方程则有3个实根：x1=1,x2=5，x3=3
若：-a=2时，方程则有2个实根：x1=1,x2=5
-a=2时 |x-3|=2 或 |x-3|=-a 两个相同，故只有两个根。
故，当a>0或a=-2方程只有两个不同的实数根。故本题选C

Answer 2

方程x^2-6x+(a-2)|x-3|+9-2a=0可以变换为x^2-6x+9=(2-a)|x-3|+2a
可以变成两个函数即：y=x^2-6x+9和y=（2-a)|x-3|+2a
画出图形可以看出分别是以（2,0）为顶点的抛物线和转折点在x=2上的折线，且关于x=2是对称的，原题的要求可以变换为当x>3是两函数图像有且仅有一个交点（x=3是不成立的否则就是奇数个解）
原题可变换成：z=x^2-6x+(a-2)|x-3|+9-2a在x=3时z<0,即9-（8-a）*3+15-5a<0,a>0
至于a=-2是一个特殊解，在x>3时，z>0且函数z的顶点在x轴上

Answer 3

最简易的思路：分类讨论，当X>=3时，"歹塔"大于零。计算出a范围。
X<0时，"歹塔"大于零。计算出a范围。
俩种情况同时成立，注意：每求出一个范围都有前提条件！！
也可结合数形结合的方法