Question

设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当13|a|+|a|b取得最小值时，实数a的...

设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当13|a|+|a|b取得最小值时，实数a的值是（　　）A．32B．-32C．-32或34D．3

Answer 1

解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3-a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，13|a|+|a|b=13a+ab=13a+a3-a=f（a），
f′（a）=-13a2+3(3-a)2=(2a+3)(4a-3)3a2(3-a)2，
当34＜a＜3时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当0＜a＜34时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=34时，13|a|+|a|b取得最小值．
②当a＜0时，13|a|+|a|b=-（13a+ab）=-（13a+a3-a）=f（a），
f′（a）=13a2-3(3-a)2=-(2a+3)(4a-3)3a2(3-a)2，
当-32＜a＜0时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当a＜-32时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=-32时，13|a|+|a|b取得最小值．
综上可得：当a=-32或34时，13|a|+|a|b取得最小值．
故选：C．