Question

0<a<1,f(x)=loga(x-3)/(x+3),g(x)=1+loga(x-1)

若存在m,n(m<n),使[m,n]真包含于D(D为f(x),g(x)定义域的公共部分)，且f(x)在[m,n]上的值域为[g(n),g(m)],求a的取值范围 答案是0<a<(2-√3)/4 要详细过程，谢谢

Answer 1

先求定义域的公共部分。
(x-3)/(x+3)>0
x>3或x<-3
x-1>0
x>1
公共部分为x>3
即m,n满足条件:3<m<n
由于底数0<a<1，两函数均单调递减，因此
f(m)=g(m)
f(n)=g(n)
loga[(m-3)/(m+3)]=1+loga(m-1)=log[a(m-1)]
loga[(n-3)/(n+3)]=1+loga(n-1)=log[a(n-1)]
得到方程组:
(m-3)/(m+3)=a(m-1)
(n-3)/(n+3)=a(n-1)
整理，得
am^2+(2a-1)m-3a+3=0
an^2+(2a-1)n-3a+3=0
m,n是方程ay^2+(2a-1)y-3a+3=0的两不等实根。
要n>m>3，需要满足如下条件:
1.判别式>0
2.对称轴>3
3.f(3)>0
判别式>0
(2a-1)^2-4a(3-3a)>0
16a^2-16a+1>0
解得a>(2+√3)/4或0<a<(2-√3)/4
对称轴>3
(1-2a)/2a>3
解得a<1/8
f(3)>0
9a+6a-3-3a+3>0
12a>0，a>0时恒成立。
由于(2-√3)/4<1/8
因此a的取值范围为0<a<(2-√3)/4