Question

一道初中几何数学问题

三角形ABC是直角三角形，∠C是直角，已知AC=BM,AN=CM 求证∠BPM=45度 周一该考试了，大家帮忙啊

Answer 1

我帮你找了两个解法。
延长CA至K,使CK=CB,连BK;延长BC至Q,使CQ=CA,连AQ.
则三角形BCK与三角形ACQ均为等腰直角三角形.
设AC=b,BC=a.则
BK=√2*a,AQ=√2*b;
KN=a+CN=a+b-(a-b)=2b,
QM=b+CM=b+a-b=a.
故KB/QM=√2;KN/QA=√2.
因此△BKN∽△MQA
故∠KBN=∠QMA
又∠QMA=∠MBN+∠MPB.
因此∠MPB=45度.
全等三角形法
证明
设AC=b，BC=a,
则CM=AN=a-b，CN=2b-a。
过N点作NH‖AM，过M点作MH‖AC，交于H.
则MH=AN=CM=a-b,AM=NH.
由勾股定理得:
BN^2=BC^2+CN^2=a^2+(2b-a)^2=2(a^2-2ab+2b^2);
AM^2=AC^2+CM^2=b^2+(a-b)^2=a^2-2ab+2b^2;
BH^2=BM^2+MH^2=b^2+(a-b)^2=a^2-2ab+2b^2.
所以
AM=BH,AM^2+BH^2=BN^2。
故三角形BHN是等腰直角三角形。
因此∠BPM=∠BNH=45°。