Question

已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，3），且在x=1处的切线方程是...

已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，3），且在x=1处的切线方程是y=2x+1． （Ⅰ）求y=f（x）的解析式； （Ⅱ）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，3），得
f（0）=c=3
①
又∵f′（x）=4x3+2bx，∴f′（1）=4a+2b=2
②
∵x=1处的切线方程是y=2x+1，有y=2+1=3，且点坐标为（1，3），
∴f（1）=a+b+c=3
③
联立①②③得：a=1，b=-1，c=3．
∴f（x）=x4-x2+3；
（Ⅱ）∵f′（x）=4x3-2x=2x（2x2-1），
由f′（x）＞0，得-22＜x＜0或x＞22，
∴y=f（x）的单调递增区间为(-22，0)，(22，+∞)．