Question

高数题，求解

Answer 1

用泰勒公司展开：

In(1-2x)

若存在极限，分子必为0。

方法如下图所示，

请作参考，

祝学习愉快：

Answer 2

分享一种解法。设lim(x→0)[f(x)-2]/x=A。
由题设条件，有4-A=lim(x→0){[xf(x)+ln(1-2x)]/x²-[f(x)-2]/x}=lim(x→0)[ln(1-2x)+2x]/x²。属“0/0”型，应用洛必达法则，∴4-A=lim(x→0)[1-1/(1-2x)]/x=…=-2。∴A=6。
∴lim(x→0)[f(x)-2]/x=A=6。
供参考。

Answer 3

方法1：用洛必达法则
原式=lim(x->0) (3cos3x-5cos5x)
=3-5
=-2
方法2：用泰勒公式
原式=lim(x->0) {[3x+o(x)]-[5x+o(x)]}/x
=lim(x->0) [-2x+o(x)]/x
=lim(x->0) [-2+o(x)/x]
=-2+0
=-2
方法3：用和差化积公式
原式=lim(x->0) [2cos4x*sin(-x)]/x
=lim(x->0) (-2sinx)/x
=-2
方法4：用拉格朗日中值定理
设f(t)=sint，存在k∈(3x,5x)，使得f'(k)=[f(3x)-f(5x)]/(3x-5x)
即cosk=(sin3x-sin5x)/(-2x)
因为当x->0时，k->0
所以原式=lim(k->0) (-2cosk)
=-2