Question

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0.证明：在（a,b）内至少存在一点c，使f'(c)+df(c)=0这

d为任意实数。

Answer 1

设g(x)=f(x)e^(dx),
由题意得g(x)在(a,b)上可导，[a,b]内连续，
又g(a)=f(a)e^(da)=0
g(b)=f(b)e^(da)=0
即g(a)=g(b)
对g(x)在[a,b]区间应用罗尔定理，
至少存在一点c,使得
g'(c)=0
即f'(c)e^(dc)+df(c)e^(dc)=0
对上式左右除以e^(dc)可得
原命题得证。