Question

已知两个反比例函数y=k/x和y=6/x在第一象限内的图像如图所示，点P是y=6/k图像上任意一点，过电p作pc垂直x

pd垂直y轴，垂足分别为C,D,PC,PD分别交y=k\x的图像于点A,B
(1）求证：三角形ODB与三角形OCA的面积相等
（2）记S=△oab-S三角形pab,当K变化时，求S的最大值？并求当S最大时三角形OAB的面积

Answer 1

解：设P的坐标为(m,6/m)(m>0).则A的横坐标为m,纵坐标为k/m;B的纵坐标为6/m,横坐标为km/6.
S△PAB=PA*PB/2=(6/m-k/m)(m-km/6)/2=(6-k)^2/12.
S△OAB=梯形OCPB的面积- S△PAB-S△OAC
=(2m-km/6)*6/m*(1/2)- (6-k)^2/12.-k/2
=(12-k)/2- (6-k)^2/12.-k/2=6-k-(6-k)^2/12,
∴S=S△OAB-S△PAB=6-k-(6-k)^2/6=-(x-3)^2/6+3/2,
∴当k=3时S取最大值3/2，这时S△OAB=9/4.

Answer 2

解：（1）∵点AB均是反比例函数y=kx（k＞0）上的点，PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S△ODB=S△OCA=k2，即△ODB与△OCA的面积相等；

（2）设P（x，6x），则A（x，kx），B（k，6x），
∵点P在反比例函数y=6x的图象上，
∴S矩形PDOC=6，
∵S△ODB=S△OCA=k2，
∴S四边形PBOA=S矩形PDOC-（S△ODB+S△OCA）=6-k，
∴S=S△OAB-S△PAB=S△四边形PBOA-2S△PAB=6-k-2×12（6x-kx）（x-kx6）=k-k26，
∴当k=32时S有最大值，S最大=32-(
32)26=98；
当k=32时，S△PAB=12（6x-kx）（x-kx6）=2932，
∴S△OAB=S+S△PAB=98+2932=6532．

Answer 3

(1）求证：三角形ODB与三角形OCA的面积相等
（2）记S=△oab-S三角形pab,当K变化时，求S的最大值？并求当S最大时三角形OAB的面积