Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)

当x属于[0,2]时，f(x)=2x-x^2 (1)求证；f(x)是周期函数 （2）当x属于[2,4]时，求f(x)的解析式 （3）计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)

Answer 1

(1)由于f(x+2)=-f(x),那么(用x+2代替x，可以得到)f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
则f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数
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(2)由题设我们知道x∈[0,2]时，f(x)=2x-x^2
当x∈[-2,0]时，-x∈[0,2],那么f(-x)=2*(-x)-(-x)^2=-2x-x^2
又因为f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x)
可以得到
在x∈[-2,0]时，f(x)=-(-2x-x^2)=2x+x^2
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x∈[2,4],那么x-4∈[-2,0],那么f(x-4)=2(x-4)+(x-4)^2=x^2-6x+8
由于f(x)的周期是4，所以f(x)=f(x-4)=x^2-6x+8
因此，在x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
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(3)由x∈[0,2]时，f(x)=2x-x^2，
得到f(0)=f(4)=f(8)=……=0
f(1)=f(5)=f(9)=……=1
由x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
得到f(2)=f(6)=f(10)=……0
f(3)=f(7)=f(11)=……-1
f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)总共是2009个f()相加，每四个的和为0，所以前2008个的和都为0，f(2008)=f(0+4*502)=f(0)=0
所以f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)=0