Question

如图,设点P是边长a的三角形ABC的BC上一点.PQ⊥AB交AB于P延长QP交AC于点R,点P在何处时，

△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值，并求出最大（小）值。

Answer 1

【不好意思，看到题目时太晚了】
【题目中的三角形应该是等边三角形吧，不然没法做】

因为P相当于BC上的一个动点，故联想到用函数来解决此题。

解：设BP=x，PC=a-x
∵等边三角形ABC中
∴∠B=∠ACB=60°（等边三角形各角相等，且为60°）
∵PQ⊥AB
∴∠BQP=90°
∴Rt△BPQ中，∠B+∠BPQ=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠BPQ=30°
∴BQ=½BP=½x（直角三角形30°角对的直角边等于斜边一半）

∵Rt△BPQ中，BP²=BQ²+QP²（勾股定理）
∴PQ=½•√3•x
∴S△BPQ=½•BQ•PQ
=½•½x•½•√3•x
=【(√3)/8】•x²
【由此我们可以得出，有一个角是30°的直角三角形，若其斜边长x，
则其面积=【(√3)/8】•x²】

作CD⊥PR于D
∵∠CPD=∠QAD=30°
∴S Rt△PDG
=【(√3)/8】•PC²
=【√3/8)】•(a-x)²

∵∠R+∠CAR=∠ACB=60°
∴∠R=∠CAR=30°
∴CP=CR
∵CD⊥PR
∴PD=DR（等腰三角形三线合一）
∴S△CPD：S△CDR
=½•PD•CD：½•RD•CD
=1
∴S△CDR= S△CPD=【√3/8)】•(a-x)²

设y=S△PBQ+S△PCR
=【(√3)/8】•x²+【√3/8)】•(a-x)²×2
=【(√3)/8】[x²+2(a²-2ax+x²)]
=【(√3)/8】•（x²+2x²-4ax+2a²）
=【(√3)/8】•(3x²-4ax+2a²)
=【(3√3)/8】•[x²-(4/3)ax+(2/3)a²]
=【(3√3)/8】•【[x²-(4/3)ax+(4/9)a²]-(4/9)a²+(2/3)a²】
=【(3√3)/8】•【[x-(2/3)a]²+(2/9)a²】
=【(3√3)/8】[x-(2/3)a]²+[(√3)/12]a² （0≤x≤a）

由二次函数的知识可知，当x=(2/3)a时，有最小值[(√3)/12]a²
当x=0时，有最大值 [(√3)/4]a²

即当BP=2PC时，有最小值[(√3)/12]a²
当P与B重合时，有最大值 [(√3)/4]a²

【希望对你有帮助】

Answer 2

最大值 [(√3)/4]a²