Question

函数极限问题？

一道函数极限问题，谢谢！

Answer 1

y=1/x

lim(x->+∞) ( x^3+5x^2+4x+3)^(1/3) - (x^3+x^2+3x+2)/[x.√(x^2+x+1)]

=lim(y->0+) ( 1/y^3+5/y^2+4/y+3)^(1/3) 

                    - (1/y^3+1/y^2+3/y+2)/[ (1/y).√(1/y^2+1/y+1)]

=lim(y->0+) ( 1+5y+4y^2+3y^3)^(1/3) /y 

                    - (1+y+3y^2+2y^3)/[ y.√(1+y+y^2)]

通分母

=lim(y->0+) [( 1+5y+4y^2+3y^3)^(1/3).√(1+y+y^2)- (1+y+3y^2+2y^3) ] 

                     /[ y.√(1+y+y^2)]

lim(y->0+) √(1+y+y^2) =1

=lim(y->0+) [( 1+5y+4y^2+3y^3)^(1/3).√(1+y+y^2)- (1+y+3y^2+2y^3) ] /y

=lim(y->0+)  (7/6)y /y

=7/6

//

等价交换

y->0+

分子

( 1+5y+4y^2+3y^3)^(1/3).√(1+y+y^2)

=[1 +(5/3)y+o(y) ] . [ 1+(1/2)y +o(y) ]

=1 + (13/6)y + o(y)

( 1+5y+4y^2+3y^3)^(1/3).√(1+y+y^2)- (1+y+3y^2+2y^3) = (7/6)y + o(y)