Question

求微分方程y"+2y'=x 的通解

Answer 1

这是常系数微分方程的第一种类型。

齐线性方程y"+2y'=0的特征跟为0，-2
所以，它表征的通解为：y=c1+c2exp(-2x)

设特解为：(y)=x(Ax+B)
代人用比较系数法得：A=1/2;B=-1/2

把2个解连起来就是这个方程 的解：y=c1+c2exp(-2x)+0.5x^2-0.5x

Answer 2

设u=y'，则
u'+2u=x
u=e^(-∫2dx)[∫xe^(∫2dx)dx+C'1]
=e^(-2x)[∫xe^(2x)dx+C'1]
=e^(-2x)[1/2*xe^(2x)-1/4*e^(2x)+C'1]
=1/2*x-1/4+C'1*e^(-2x)
y=∫udx=1/4*x^2-1/4*x-C'1/2*e^(-2x)+C2
=1/4*x^2-1/4x-C1*e^(-2x)+C2(C1=C'1/2)

Answer 3

00