Question

如图在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点（不可以与A，B重合），并作∠MPD=

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式．专题：代数几何综合题；存在型；数形结合；分类讨论．分析：（1）△BMP中，BM的长易求得，关键是求BM边上的高；过P作PH⊥BC于H，易证得△BPH∽△BAC，通过相似三角形得出的成比例线段可求出PH的长，进而可求出y、x的函数关系式；
（2）所求的两个三角形中，已知∠MPD=∠ACB=90°，若使两三角形相似要分两种情况进行讨论；
一、D在BC上，
①∠PMB=∠B，此时PM=BM，MH=BH=2，可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值；②∠PMB=∠A，此时△BPM∽△ACB，同①可求得x的值；
二、D在BC延长线上时；
由于∠PMD＞∠B，因此只有一种情况：∠PMD=∠BAC；当P、A重合时，易证得∠MAC=∠PDM，由于tan∠MAC=2
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＜tan∠B，所有∠MAC＜∠B，即当D在BC延长线上时，∠PDM总小于∠B，所有△PDM和△ABC不会相似；
综合两种情况，可得出符合条件的x的值．解答：解：（1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC；
Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10．
∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10）
但是x不能等于5．
∵当x=5时，P为AB中点，PM‖AC，得到PD‖BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤10 且x≠5，
易知△BPH∽△BAC，得：
PH AC =BP AB ，PH=AC•BP AB =3 5 x；
∴y=1 2 ×4×3 5 x=6 5 x（0≤x≤10 且x≠5）；

（2）当D在BC上时，
①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2；
MP=x，AB=10，MH=2，BC=8，
此时△MPD∽△BCA，
∴△MPD∽△MHP，
∴△MHP∽△BCA，
MP AB =MH BC ，
得：x 10 =2 8 ，解得x=5 2 ；
②∠PMB=∠A时，△DPM∽△ACB，得：DP•BA=DM•BC；
∴10x=4×8，解得x=16 5 ；
当D在BC延长线上时，
由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况；
当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM，
∵tan∠MAC=2 3 ，tanB=3 4 ，tan∠MAC＜tanB，
∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；
由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM；
所以△PDM和△ACB不可能相似；

综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2．点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，需注意的是（2）题中，虽然当D在BC延长线上的情况不成立，但是一定要将这种情况考虑到，以免漏解

Answer 2

题目不完整，且D点从哪儿冒出来的？