Question

设a,b,c均为正数，且a+b+c=1,证明：1/a+1/b+1/c≥9.

Answer 1

利用柯西不等式
(a^2＋b^2)(c^2
+
d^2)≥(ac+bd)^2
证明：
因为a,b,c均为正数，且a+b+c=1
所以1/a
+1/b
+1/c
=1*(1/a
+1/b
+1/c)
=(a+b+c)(1/a
+1/b
+1/c)
≥[√a
*
(1/√a)+√b
*
(1/√b)
+
√c
*
(1/√c)]^2
即
1/a
+1/b
+1/c≥9

Answer 2

1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=3+b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c
=3+(b/a+a/b)+(a/c+c/a)+(c/b+b/c)
b/a+a/b>=2*根号[(b/a)*(a/b)]=2
同理
c/a+a/c>=2
c/b+b/c>=2
所以
1/a+1/b+1/c>=9
满意请采纳
不懂请追问~