Question

导数与极限的关系？

可以证明一下3里面的后两个吗，就是分母带k次方的

Answer 1

“极限只是一个数：x趋向于x0的极限=f(x0)。而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率。导数比极限多了一个表达“过程”的部分。

导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：一是，已知运动规律求速度；二是，已知曲线求切线。这是由英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。

极限是导数的基础，从某种意义上说，导数的本质就是一种极限，当自变量的增量趋于零时，函数值的增量与自变量的增量的比值的极限就是导数。这个极限反映的是函数的变化趋势，刻画的是函数的变化速度。

导数研究的背景之一就是求曲线的切线，曲线在某点处切线的斜率即是导数的几何意义，因此，求函数在某点处的切线斜率，就是求函数在该点处的导数，当然也是求割线斜率的极限值。

Answer 2

很好理解，首先你知道导数定义是lim(f(x)-f(x0))/(x-x0),这个式子很重要，它说明一个问题，就是如果f(x)-f(x0)是x-x0的同阶无穷小（此时导数为非零常数）或者高阶无穷小时（此时导数为0），导数才能存在。反之，如果f(x)-f(x0)是(x-x0)的低阶无穷小，那么这时候根据导数定义求出来极限是∞，肯定不存在。
你理解这一点后，再继续看下面的，
第一个最简单，当A不等于0时说明f(x)-f(x0)与x-x0是通解无穷小，所以导数存在且等于A，如果A=0说明f(x)-f(x0)是x-x0的高阶无穷小，故导数为0
第二个，这里k>1，说明f(x)-f(x0)是x-x0的高阶无穷小，故导数一定存在且必为0.
第三个，0<k<1,而且这里明确讲A是非零常数，所以f(x)-f(x0)是(x-x0)^k的同阶无穷小，也就是(x-x0)的低阶无穷小，故导数一定不存在。

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