Question

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3...

定义在R上的偶函数y=f（x）满足： ①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）； ②当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0． 则：若方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是_____．

Answer 1

解：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0，可知函数在[0，3]上单调递增．
又f（x）为偶函数，图象关于y轴（x=0）对称，故在[-3，0]上为减函数．
令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0
因为f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）+0=f（x），所以f（x）是周期等于6的周期函数，故函数关于x=6对称，
所以f（9）=0，
因为y=f（x）是R上的偶函数，f（-9）=0，f（-3）=0，
因为f（x）在[0，3]上是增函数，所以[0，3]上只有一解为3，对称性[-3，0]只有一解为-3，
因为f（x+6）=f（x）+f（3），且f（x）在[0，3]上是增函数，
所以f（x）在[6，9]上是增函数，所以[6，9]上只有一解为9，因为f（x）关于x=6对称，
所以f（x）在[3，6]上只有一解为3，
由对称性知[-9，-6]，[-6，-3]各只有一解-9，-3，
要使方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，则区间长度6-2a 满足
12≤6-2a＜15，解得-9＜a≤-3．
∴实数a的取值范围是（-9，-3]，
故答案为（-9，-3]．