Question

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设命题P:函数y=x2+(2a-3)x+1有两个不同焦点 命题q:直线x+y+a+1=0(a＞0)与圆x2+y2=2相交 若命题p和命题q中有且只有一个真命题 试求实数a的取值范围

Answer 1

1.命题P是真命题的条件是：b^2-4ac>0
即(2a-3)^2-4>0 → (2a-5)(2a-1)>0，得a>2.5或a<0.5
所以命题P为假命题的条件是：0.5≤a≤2.5.
2.命题Q是真命题的条件是：O点到直线距离小于等于半径——根号2
根据作图可以见，该条件等价于直线与y轴交点的绝对值小于等于2
即|-a-1|≤2，-2≤-a-1≤2，即-3≤a≤1，又a>0，所以0<a≤1
所以命题Q为假命题的条件是a>1或a≤0.

综上，当P真Q假时
a>2.5或a<0.5
a>1或a≤0
∴a>2.5或a≤0
当P假Q真时
0.5≤a≤2.5
0<a≤1
∴0.5≤a≤1

综上，当a≤0或0.5≤a≤1或a>2.5时，命题P和Q有且只有一个真命题