Question

在曲线上的方向导数

f(x,y)=x+y+xy,曲线C：x^2+y^2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数

Answer 1

函数在任一点处的最大方向导数，是沿梯度方向的，其值等于梯度的模，即

因此，本题的解法应该是：

Answer 2

这是2015年数一的第17题，命题人的目的就是答案上的解答，但是题目出得有问题。答案的结果是正确的，但是论证过程是错误的，是歪打正着。为什么过程错误结果却对呢？方向导数=|gradf(x,y)|✖|n|✖cos<gradf(x,y),n>，其中n是C在(假设是N(x,y))的切向量。巧就巧在当|gradf(x,y)|取最大值的时候(假设是M(x0,y0))，C：曲线在M点的切线方向恰好是函数f(x,y)的梯度方向，cos<gradf(x,y),n>=1。这样，方向导数<=|gradf(x,y)|<=3，而方向导数又能取到3，所以3就是方向导数最大值。真正解法应该是写出方向导数表达式g(x,y)，求方向导数表达式g(x,y)在曲线C约束条件下的最值，这个求解过程及其复杂。当然，为了简化，可以把第二个椭圆换坐标变成圆（其实求解过程数很复杂，考研不会这么难的）。所以下次遇到这种题恐怕还得按照答案的办法来做.当然，为了使答案更严谨一些，应该说明f(x,y)的梯度与C：在最大值点的切线同向，或者说明f(x,y)在最大值的方向导数=|gradf(x,y)|。