Question

高中数学 极限

limx —>3(x²-2x+k)/(x-3)=4，求K的值
解：由题意limx —>3(x²-2x+k)=0(否则limx —>3(x²-2x+k)/(x-3)=无穷)
这个我不能理解，帮忙解释，谢谢
分子趋向于0的话，那这个题的极限不就是0了么

Answer 1

此题，当x--->3时，即分母趋近0，要使极限存在，必须分子也同时趋近于0。
下面我稍微解释一下，为什么“分子趋向于0的话，那这个题的极限不就是0了么”。
原因就在于本题中分母也同时趋近于0，而分母为0是无意义的状态，所以我们要想办法把分母为0 的因子（即x-3），分别从分子和分母中约去，之后再求解。
举例说明一下：
求limx —>0 x/x的极限，显然x/x=1，当然此极限也就是1咯。
你所说的“分子趋向于0的话，那这个题的极限不就是0了么”，明显就与此矛盾吧。
故一定要记住：当分子分母同时趋近于0时，极限却不一定趋近于0。求解时要先约去分子分母的零因子，再求极限。

Answer 2

对于极限lim[f(x)/g(x)](其中g(x)≠0).如果limf(x)=常数a,limg(x)=常数b,且a和b都≠0,那么直接就可以下结论lim[f(x)/g(x)]=[limf(x)]/limg(x)=a/b(使用了极限的运算法则).

limf(x)=常数a,limg(x)=0，分子趋近于一个常数，分母变得无穷接近0，那就相当于一个确定的数除以一个无穷接近0的数，答案当然是无穷大了。

limf(x)=0,limg(x)=常数b，分子变得无穷接近0，分母趋近于一个常数，那就相当于用0除以一个确定的数，答案当然是0了。

但是如果lim[f(x)/g(x)]出现了limf(x)=0且limg(x)=0,或者是limf(x)=∞且limg(x)=∞,那么这个极限就不一定是存在的了(此时答案可能是常数，也可能是∞)。我们把这2种特殊的情况称作未定式，也就是答案还不确定的式子，需要进一步处理。未定式有0/0型和∞/∞型这2种情况。如果出现了0/0型或∞/∞型的极限，答案不能直接写上“0/0”或“∞/∞”或“0”或“极限不存在”，前面的情形都没有技术含量，所以考试要考的一定是未定式的极限。出现了未定式，不能妄下结论，需要对式子进行变形处理成非未定式，再下结论。出现了未定式，就是一个鲜明的信号，表示求极限这件事情还没有做完！

对未定式一般采用的化简方法是提取公因式，比如可以利用平方差公式、立方差公式、三角恒等变换技巧、因式的等价无穷小替换。或者直接使用几乎无敌的洛必达法则，对分子和分母同时求导数，再取极限。洛必达法则是以未定式作为条件推出的，所以只适合处理未定式的极限，对于普通(一眼看得出答案的那种)，极限洛必达法则不适用。使用洛必达法则处理过的未定式，如果分子分母任属于未定式的情况，则可继续使用洛必达法则。

如果limf(x)和limg(x)一个等于0，另一个等于∞，那么答案就很简单了，肯定不是0就是∞。因为0除以极大的数字等于0，无穷大(不妨看作一个极大的数字)除以0(看成一个很小很小的接近0的数字,因为虽然分母极限为0，但分母永不为0嘛)还是无穷大。这个情况好理解，不多说了。

对于Limit[(x²-2x+k)/(x-3),x->3]=4，观察到lim分母=0，要使极限存在，必须要有lim分子=0。否则，如果lim分子=常数a(a≠0)，那么答案就肯定是∞而不是4了(前面讨论过了这种情况)。此时这个函数的分子和分母的极限都是为0的，所以属于0/0型的未定式。

lim分子=Limit[x²-2x+k,x->3]=3²-2×3+k=0,故k=-3.

验证一下Limit[(x²-2x+k)/(x-3),x->3]=Limit[(x²-2x-3)/(x-3),x->3]=Limit[(x-3)(x+1)/(x-3),x->3]
=Limit[(x+1),x->3](←约去了公因式(x-3))=3+1=4.

Answer 3

limx —>3(x²-2x+k)/(x-3)=4，表示分子与分母同数量级(当x->3时)
因此 x^2-2x+k = (x-3)*(x+1) = x^2-2x-3
k =-3
此时 原式= lim x->3 (x+1) =4

Answer 4

分母趋向于0，而分子不趋向于o，分数值自然是无穷。