Question

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 x=acosφy=bsinφ（a＞b＞...

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 x=acosφy=bsinφ（a＞b＞0，φ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，3），对应的参数φ=π3，θ=π4与曲线C2交于点D（2，π4） （Ⅰ）求曲线C1，C2的普通方程； （Ⅱ）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+π2）是曲线C1上的两点，求1ρ12+1ρ22的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）把曲线C1的参数方程为
x=acosφy=bsinφ（a＞b＞0，φ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数φ，
化为普通方程为
x2a2+y2b2=1．
再根据曲线C1上的点M（2，3）对应的参数φ=π3，可得2=acosπ3、3=bsinπ3，求得a=4、b=2，
故曲线C1的直角坐标方程为
x216+y24=1．
设所求的圆的半径为r，r＞0，则所求的圆的方程为
（x-r）2+y2=r2，由于点D（2，π4）的直角坐标为（1，1），
把点D（1，1）代入圆的方程求得r=1，故所求的圆的方程为
（x-1）2+y2=1．
（Ⅱ）∵曲线C1的极坐标方程为
(ρcosθ)216+(ρsinθ)24=1，把A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+π2）分别代入可得
(ρ1cosθ)216+(ρ1sinθ)24=1
①，[ρ2cos(θ+π2)]216+[ρ2sin(θ+π2)]24=1
②，
由①求得1ρ12=cos2θ+4sin2θ16，由②求得
1ρ22=sin2θ+4cos2θ16，
∴1ρ12+1ρ22=516．