Question

已知x＝1是函数f(x)＝(ax－2)ex(a∈R)的一个极值点．(1)求a的值...

已知x＝1是函数f(x)＝(ax－2)ex(a∈R)的一个极值点． (1)求a的值； (2)当x1，x2∈[0,2]时，证明：f(x1)－f(x2)≤e.

Answer 1

(1)解　f′(x)＝(ax＋a－2)ex，
由已知得f′(1)＝0，解得a＝1.
当a＝1时，f(x)＝(x－2)ex在x＝1处取得极小值．
所以a＝1.
(2)证明　由(1)知，f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex，
当x∈[0,1]时，f′(x)＝(x－1)ex≤0，
f(x)在区间[0,1]上单调递减；
当x∈(1,2]时，f′(x)＝(x－1)ex>0，
f(x)在区间(1,2]上单调递增，
所以在区间[0,2]上，f(x)的最小值为f(1)＝－e.
又f(0)＝－2，f(2)＝0，
所以在区间[0,2]上，f(x)的最大值为f(2)＝0，
对于x1，x2∈[0,2]，有f(x1)－f(x2)≤f(x)max－f(x)min，
所以f(x1)－f(x2)≤0－(－e)＝e.
(1)解　f′(x)＝(ax＋a－2)ex，
由已知得f′(1)＝0，解得a＝1.
当a＝1时，f(x)＝(x－2)ex在x＝1处取得极小值．
所以a＝1.
(2)证明　由(1)知，f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex，
当x∈[0,1]时，f′(x)＝(x－1)ex≤0，
f(x)在区间[0,1]上单调递减；
当x∈(1,2]时，f′(x)＝(x－1)ex>0，
f(x)在区间(1,2]上单调递增，
所以在区间[0,2]上，f(x)的最小值为f(1)＝－e.
又f(0)＝－2，f(2)＝0，
所以在区间[0,2]上，f(x)的最大值为f(2)＝0，
对于x1，x2∈[0,2]，有f(x1)－f(x2)≤f(x)max－f(x)min，
所以f(x1)－f(x2)≤0－(－e)＝e.