Question

初三二次函数的基本知识

Answer 1

二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
例题：
1、P是抛物线y²=4x的点 则点P到直线4x+3y+15=0的距离最小值是多少？
解：设点P到直线的距离为d
设点P的坐标为（y²/4，y）
代入距离公式
d=｜y²+3y+15｜/√（4²+3²）=｜（y+3/2）²+51/4｜/5
很明显，y=-3/2时，y²+3y+15有最小值是51/4所以点P到直线的距离最小值是51/20
2、在直角坐标系中，抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴交于a，b两点，（点a在点b左侧），与y轴交于点c，点a（－3,0）点c（0,3），且抛物线对称轴是x=－2（1）若p是线段ac上一点，设△abp，△bpc的面积分别为s△abp，s△bpc，且s△abp比s△bpc=2比3，求p坐标（2）设圆心q半径为1，圆心q在抛物线上运动，则在运动过程中手否存在圆心q与y轴相切的情况，求q的坐标
解：（1）根据题意
对称轴x=-2
那么点b的坐标是（-1，0）
s△abp比s△bpc=2比3
因为s△abp和s△bpc是不同底而等高
也就是说ap：pc=2：3
oa²+oc²=ac²
ac=3√2
oa=oc，所以角oac是45度
那么点p到y轴距离=ac×3/5×cos角oac=3√2×3/5×√2/2=9/5
点p到x轴距离=ac×2/5×sin角oac=3√2×2/5×√2/2=6/5
所以点p的坐标是（-9/5，6/5）
（2）根据题意设抛物线解析式为y=ax²+bx+3
将（-3，0）（-2，0）代入
9a-3b+3=0
4a-2b+3=0
解得
a=1/2，b=-5/2
y=1/2x²-5/2x+3
如果存在q点，那么也就是说点q的距离到y轴=1
也就是当x=1或-1的时候
x=-1，y=0
x=1，y=5
q（-1，0）或（1，5）
3、直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交与点B，以线段AB为直径作圆C，抛物线y=ax的平方+bx+c过A，C，O三点。 1、求点C的坐标和抛物线的解析式。2.过点B作直线与x轴交于点D，且OB的平方=OA*OD，求证DB是圆C的切线。3.抛物线上是否存在一点P，使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由。
解：如图
1、令x=0和y=0分别求出点A和B的坐标
点A（6，0），B（0，6）
圆心C的坐标为（3，3）
设抛物线的方程为y=ax²+bx
将（3，3）和（6，0）分别代入
9a+3b=3
36a+6b=0
解得
a=-1/3，b=2
抛物线的解析式为y=-1/3x²+2x
2、设点D的坐标为（x，0）
｜OB｜=6,｜OD｜=｜x｜,｜OA｜=6
根据题意
36=｜x｜×6
x=-6或6（舍去）
点D的坐标为（-6，0）
｜AD｜=12，｜AB｜=6√2，｜BD｜=6√2
｜AB｜²+｜BD｜²=｜AD｜²
所以∠ABD=90度
BD是圆C的切线
3、存在一点P
｜OA｜=6，｜OC｜=3√2，｜AC｜=3√2
｜OC｜²+｜AC｜²=｜OA｜²
所以∠OCA=90度
过点A作OC的平行线交抛物线于点P，交y轴于点E，点P即为所求
由题意可知
BD‖OC‖AP，且C为AB中点
所以点O为BE中点，点E的坐标为 （0，-6）
直线AP和直线AB垂直，所以直线AP的斜率是1
直线AP的方程为y=x-6
联立
y=x-6（1）
y=-1/3x²+2x（2）
（1）代入（2）
x-6=-1/3x²+2x
化简
x²-3x-18=0
（x-6）（x+3）=0
x=-3或x=6（舍去，此时为点A坐标）
x=-3时，y=-9
所以点P的坐标为（-3，-9）

Answer 2

抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 ，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴 ；
抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b^2/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2;-4ac=0时，P在x轴上
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口
|a|越大，则抛物线的开口越小；

Answer 3

很全了，我认为记住一部分就行了，做题中用到abc取值就行