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n为3的倍数时，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
n不是3的倍数时，n=3k+1或n=3k+2(k为自然数，包括0）。
n=3k+2时，n+1=3k+2+1=3(k+1),是3的倍数，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
n=3k+1时，2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)，是3的倍数，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
综上，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
n不是3的倍数时，n=3k+1或n=3k+2(k为自然数，包括0）。
n=3k+2时，n+1=3k+2+1=3(k+1),是3的倍数，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
n=3k+1时，2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)，是3的倍数，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
综上，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
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