Question

函数求值域的步骤

Answer 1

求函数值域的几种常见方法
1直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}；
二次函数的定义域为R
当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b??)/4a}；
当a<0时，值域为{y|y≤(4ac-b??)/4a}
例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，∴值域是y∈[-1，5]
②y=x??-2x+3∵1>0∴(4ac-b??)/4a=[4×1×3-（-2）??]/4×1=1即函数的值域是{y|y≥2}2．
二次函数在定区间上的值域(最值)：
①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次项系数1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函数
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次项系数1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数
所以f(x)min=f(3)=3
而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12]
3观察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域
∵-x??-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]
∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因为-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0
终于得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2
所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2]
5.图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
解：因为y=-2x+2(x<-3) y=8 (-3≤x<5) y=2x-2(x≥5)自己画图像由图可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)
6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域
解y=3^x/（1+3^x）两边同乘以1+3^x
所以 3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)
因为3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0<y<1值域为（0，1）
7判别式法求y=1/(2x??-3x+1)
解 ∵2x??-3x+1≠0∴函数的定义域是{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}
将函数变形可得2yx??-3yx+y-1=0当y≠0时,上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y??-8y(y-1)≥0
所以y≤-8或y≥0当y=0时，方程无解，身体y=0不是原函数的值
所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)
8换元法求y=2x－√（x-1)的值域
解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t??+1
所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8
因为t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞)
值域三角函数法、基本不等式法、导数法分别是高一下册，高二上册，高三的内容，在这里就不例举了