Question

高中解析几何

1楼

在平面直角坐标系中，圆心M在曲线C：x^2=2px上的动圆过定点E(0,p)(p>0)，设该圆交x轴于A、B两点。设|EA|=L1，|EB|=L2，则求 L1/L2 + L2/L1 的取值范围。

Answer 1

设圆心M(a,a^2/2p)，半径为R，令Z=L1/L2+L2/L1
R^2=a^2+(a^2/2p -p)^2
作MF⊥AB
则AB=2√( R^2-MF^2)=2p ……①
设∠AEB=θ，θ∈(0,90)。
由余弦定理，
Z=(L1^2+L2^2)/L1L2=(AB^2+2L1L2cosθ)/L1L2 （*）
又S⊿AEB=(1/2)L1L2sinθ=(1/2)|EO||AB|
即L1L2=2p^2/sinθ ……②
将①②代入（*）式，
则Z=2sinθ+2cosθ=2√2sin(θ+45)
故Z∈[2,2√2]

Answer 2

当A=(0,0)时去的最大值3½+1/(3½)
同时L1/L2+L2/L1>=2
其范围为[2,3½+1/(3½)]