已知抛物线y=X2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A和B,顶点为C,求三角形ABC的面积的最小值。
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设A(x1,0) B(x2,0),则满足
x1+x2=k-1,x1x2=-k-1
故|x1-x2|=√[(k-1)＾2+4(k+1)]=√(k＾2+2k+5)
由于y=X2-(k-1)x-k-1=[x-(k-1)/2]＾2-(k＾2+2k+5)/4
故顶点的纵坐标为-(k＾2+2k+5)/4，
令t=k＾2+2k+5,
三角形ABC的面积为1/2 x |x1-x2| x |-(k＾2+2k+5)/4|=(1/2)(√t )t/4
显然，t越大，面积越大，故问题等价于求t的最小值（t>0)
由于t=k＾2+2k+5=（k+1)＾2+4≫4
得t的最小值为4，故
三角形ABC的面积的最小值为(1/2)(√4)（4/4）=1
x1+x2=k-1,x1x2=-k-1
故|x1-x2|=√[(k-1)＾2+4(k+1)]=√(k＾2+2k+5)
由于y=X2-(k-1)x-k-1=[x-(k-1)/2]＾2-(k＾2+2k+5)/4
故顶点的纵坐标为-(k＾2+2k+5)/4，
令t=k＾2+2k+5,
三角形ABC的面积为1/2 x |x1-x2| x |-(k＾2+2k+5)/4|=(1/2)(√t )t/4
显然，t越大，面积越大，故问题等价于求t的最小值（t>0)
由于t=k＾2+2k+5=（k+1)＾2+4≫4
得t的最小值为4，故
三角形ABC的面积的最小值为(1/2)(√4)（4/4）=1
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