Question

10.设直线y=ax+b与双曲线3x*2-y*2=1交于A,B,以AB为直径的圆过原点,求点P(a,b)的轨

10.设直线y=ax+b与双曲线3x*2-y*2=1交于A，B，以AB为直径的圆过原点，求点P（a,b）的轨迹方程。

Answer 1

解：联立y=ax+b和双曲线3x²-y²=1，得：
3x²-(ax+b)²=1，即(3-a²)x²-2abx-b²-1=0
设A、B坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
则x1+x2=-2ab/(a²-3)，x1x2=(b²+1)/(a²-3)
则y1y2=(ax1+b)(ax2+b)=a²x1x2+ab(x1+x2)+b²=a²(b²+1)/(a²-3)-2a²b²/(a²-3)+b²=(a²-3b²)/(a²-3)
∵O在圆上，AB是直径，∴∠AOB=90°
∴OA·OB=0，即x1x2+y1y2=0
∴(b²+1)/(a²-3)+(a²-3b²)/(a²-3)=0，解得：2b²-a²=1
即P的轨迹方程为2y²-x²=1

Answer 2

8

Answer 3

解：联立y=ax+b和双曲线3x²-y²=1，得：
3x²-(ax+b)²=1，即(3-a²)x²-2abx-b²-1=0
设A、B坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
则x1+x2=-2ab/(a²-3)，x1x2=(b²+1)/(a²-3)
则y1y2=(ax1+b)(ax2+b)=a²x1x2+ab(x1+x2)+b²=a²(b²+1)/(a²-3)-2a²b²/(a²-3)+b²=(a²-3b²)/(a²-3)
∵O在圆上，AB是直径，∴∠AOB=90°
∴OA·OB=0，即x1x2+y1y2=0
∴(b²+1)/(a²-3)+(a²-3b²)/(a²-3)=0，解得：2b²-a²=1
即P的轨迹方程为2y²-x²=1