Question

高二数学 复数 设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n

设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n 最好是用高中知识解答

Answer 1

(a+b)^n的n次二项式，将此二项展开，
系数之和：
二项式系数和为：C（n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n.
a+b =1
(a+b)^n=1;
a*b =1;
a^n+b^n=(a+b)^n
+
二项式系数之和
-
a^n的系数-b^n的系数

=1 + 2^n
- 1
- 1

=2^n-1

Answer 2

这道题需要用到
欧拉公式
：e^ix=cosx+isinx，
a=co
s60
+i*sin60=e^i（π/3），
b=cos60-i*sin60=e^i（-π/3），
所以a^n=e^i（nπ/3），
b^n=e^i（-nπ/3），
a^n+b^n=e^i（nπ/3）+e^i（-nπ/3）=e^i（nπ/3）+1/[e^i（nπ/3）]，
利用欧拉公式展开，
a^n+b^n=cosnπ/3+i*sinnπ/3+1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3]，
1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3]=cosnπ/3-i*sinnπ/3，
所以结果等于2cosnπ/3.