Question

微积分极限题？

微积分极限题 最好不用洛必达 用等价替换

Answer 1

应用等价无穷小量替换求解。∵t→0时，cost~1-t²/2、【广义二项展开式】(1+t)^α~1+αt，
∴(cosax)^(1/a)~[(1-a²x²/2)^(1/a)~1-ax²/2。同理，(cosbx)^(1/b)~1-bx²/2。
∴原式=lim(x→0)[1-(1-x²/2)(1-ax²/2)(1-bx²/2)]/x²=(1+a+b)/2。
供参考。

追问

请问一下最后这步的结果是怎么出来的…最后一个等号不是太懂

而且一开始的等价替换是在加减法里也不太行吧

追答

等价无穷小量替换，与泰勒展开式/麦克劳林级数是一致的；而且没有运算环境的限制，只要满足定义条件即可。
∵(1-x²/2)(1-ax²/2)(1-bx²/2)=1-(1+a+b)x²/2+O(x²)。故，原式=(1+a+b)/2。

Answer 2

不能部分替换的吧，不用洛必达法则怎么求，在线蹲一个