Question

有关函数的不等式证明

主要是第三问，要详细过程
主要是第三问，要详细过程

Answer 1

(1)f'(x)=e^x-m=e^x-e≥0 <=> x≥1 , 故[1, +∞)为增函数, (-∞,1]为减函数
(2)f(|x|)为偶函数, 故只需考虑x>0. f'(x)=e^x-m≥0 <=>x≥lnm 故x=lnm处取最小值.
f(lnm)=m-mlnm>0 <=>lnm<1 <=>0<m<e
(3)F(x)=e^x+e^(-x)
F(k+1)*F(n-k)=(e^(k+1)+e^(-k-1))(e^(n-k)+e^(k-n))
=(e^(n+1)+e^(2k+1-n)+e^(-(2k+1-n))+e^(-n-1)
>e^(n+1)+e^(2k+1-n)+e^(-(2k+1-n))
≥e^(n+1)+2√(e^(2k+1-n)*e^(-(2k+1-n)))
=e^(n+1)+2
F(1)*..F(n)=([F(1)F(n)]*[F(2)F(n-1)]*[F(3)F(n-2)]*...*[F(n)F(1)])^(1/2)
>(e^(n+1)+2)^(n/2)

Answer 2

高中知识啊，好久没做了啊
1)f'(x)=e^x-m=e^x-e≥0 <=> x≥1 , 故[1, +∞)为增函数, (-∞,1]为减函数
(2)f(|x|)为偶函数, 故只需考虑x>0. f'(x)=e^x-m≥0 <=>x≥lnm 故x=lnm处取最小值.
f(lnm)=m-mlnm>0 <=>lnm<1 <=>0<m<e
(3)F(x)=e^x+e^(-x)
F(k+1)*F(n-k)=(e^(k+1)+e^(-k-1))(e^(n-k)+e^(k-n))
=(e^(n+1)+e^(2k+1-n)+e^(-(2k+1-n))+e^(-n-1)
>e^(n+1)+e^(2k+1-n)+e^(-(2k+1-n))
≥e^(n+1)+2√(e^(2k+1-n)*e^(-(2k+1-n)))
=e^(n+1)+2
F(1)*..F(n)=([F(1)F(n)]*[F(2)F(n-1)]*[F(3)F(n-2)]*...*[F(n)F(1)])^(1/2)
>(e^(n+1)+2)^(n/2)

Answer 3

我也只证明第三问：