Question

关于函数f(x)=cos2x-2根号3sinxcosx，下列命题

①若存在x1,x2有x1-x2=π时，f(x1)=f(x2)成立
②f(x)在区间[-π/6,π/3]上是单调递增
③函数f(x)的图像关于点(π/12,0)成中心对称图像
④将函数f(x)的图像向左平移5π/6个单位后将与y=2sin2x的图像重合

其中正确的命题序号是？

过程详细一点 谢谢！

Answer 1

f(x)=cos2x-2根号3sinxcosx
=2cos(2x+π/3)
周期T=π ①对
X在区间[-π/6,π/3，则2x+π/3属于[0，π]减函数
X对应点(π/12,0)，则2x+π/3对应点（π/2，π/3）非中心对点
向左平移5π/6个单位得： f(x)=2cos[2(x+5π/6)+π/3]=2cos2x
所以最后结果选①

Answer 2

如果我题目没看错的话应该是f(x) = cox2x - 2√3sinxcosx，那么就可以配成f(x) = cos2x - √3sinxcosx = 2cos(2x + π/3)
根据函数关系式可以推出函数周期为π，则1正确
将y=2cos2x的图像向右移π/3个单位，则可以得到上式的图像，由图象性质得2不正确
函数f(x)的图像关于点(2π/3,0)对称，因此3不正确
向左平移5π/6个单位新的函数关系式为f(x) = 2cos( x - 2π/3)，不与y = sin2x重合