Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,且...

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,且经过点P（1,3/2). 求：（1）椭圆C的方程 （2）设F是椭圆C的左焦点,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.

Answer 1

e
=
c/a
=
1/2
,a
=
2c
,代入得：3x^2/4b^2
+
y^2/b^2
=
1
,经过P（1,3/2）,代入得：3/4b^2
+
9/4b^2
=
1
,解得：b^2
=
3
,a^2
=
4
,方程为：x^2/4
+
y^2/3
=
1
,求得F（-1
,0）,设以PF为直径的圆为I,根据P、F坐标求出其圆心为（0,3/4）,半径
=
5/4
,以椭圆长轴为直径的圆的半径
=
a
=
2
,圆心（0,0）,圆心距
=
3/4
,半径差
=
2
-
5/4
=
3/4
,二者恰好相等,故两圆内切.