Question

设n为正奇数,证明：n 整除（1+1/2+...+1/n-1）(n-1)!不甚感激!

Answer 1

因为n为正奇数,不妨设：n=2K+1,代入得：
（1+1/2+...+1/2K）(2K)!
= （2k）!+1/2*（2k）!+1/3*（2k）!+------+1/2k*（2k）!
上面式子中一共有2K项,把头尾等距两项相加
(2k)!+1/2k*(2k)!=(2k)!*(2k+1)---------------------(1)
1/2*(2k)!+1/(2k-1)*(2k)!=(2k)!*(2k+1)/2(2k-1)---------(2)
1/3*(2k)!+1/(2k-2)*(2k)!=(2k)!*(2k+1)/3(2k-2)--------(3)
----
1/k*(2k)!+1/(k+1)*(2k)!=(2k)!*(2k+1)/k(k+1)---------(k)
从(1)(2)(3)----(k)中每一项都是整数且都含有2k+1因式
所以(1)+(2)+(3)+----+(k)中可以提出2k+1因式,故
（2k）!+1/2*（2k）!+1/3*（2k）!+------+1/2k*（2k）!能被2k+1整除
这就证明了：n 整除（1+1/2+...+1/n-1）(n-1)!（其中n为正奇数）
这样证明不知对不对,请大虾们指点.