Question

微分方程 既不是通解也不是特解的情况

y=Ce^2x为什么既不是y''-4y=0的通解,也不是它的特解,只是解?即不是通解也不是特解释什么情况?

Answer 1

是这样的，对于一个二阶常系数其次方程，它的通解有无穷多个，但是这无穷多个解有一个特性，就是构成一个维度为二的线性空间，所以要想表示这些解，我们只需要求出这个解空间的基底即可。y=C1*e^2x + C2*e^-2x这个就是原方程的通解，其中C1，C2为这个通解的坐标，e^2x和是这个方程通解的基底。也就是说我们拿两个基底作为坐标轴建立起来一个坐标系以后，这个坐标系下任意的坐标都是原方程的解，只要给定一组初始条件我们就可以确定下来坐标而求出特解。
事实上通解的表示也不唯一，但是我们常用而且很方便的使用这种形式的基底。因为维度2的线性空间内部任意两条线性无关的向量都能拿来做为基底，事实上你只要找出来任意两个线性无关的方程的解，分别乘以任意常数就是这个方程的通解。
你求出的那个解可以理解为某种意义上的特解，因为e^2x基底下的坐标是C,e^-2x基底下的坐标是0.，理论上C等于一个确定常数那它就是特解无疑。如果C是不确定的任意常数，那就是原方程的一个解，但是表示不了所有解，因此不能叫做通解。这个举个例子你能轻松明白：求出来一个3*3齐线性代数方程的基础解系，强制的让其中两个基底等于0，另一个带上一个任意常数，那它也是原方程的解，因为带入原方程肯定满足，但是它肯定不是通解，这时如果你又找到两个线性无关的解，把这三个解分别乘上任意常数加起来，那肯定是通解。

Answer 2

特解：一个确定的解，你的是一组解，而不是一个解。如令C=1,这就是特解了。
通解：全部解，你的这组解中只有一个不定常数，显然不是它的全部解了。（因为这是一个二阶的微分方程，通解中应有两个不定常数的）。

你的这个解 是此方程的一组解。
注：该方程通解：y=C1*e^2x + C2*e^-2x，其中C1,C2为任意常数。