Question

从直线l：x/12 +y/8 =1上任意一点p向椭圆：X^2/24 +y^2/16=1 引切线PA，PB，切点分别为A、B，试求线段AB中

从直线l：x/12 +y/8 =1上任意一点p向椭圆：X^2/24 +y^2/16=1 引切线PA，PB，切点分别为A、B，试求线段AB中点M的轨迹方程

Answer 1

设P(m,2(12-m)/3),
PA(或PB）:y=k(x-m)+2(12-m)/3,（*）
代入X^2/24 +y^2/16=1 ，化简得
3x^2+4[kx-km+2(12-m)/3]^2=48,
(3+4k^2)x^2+8k[2(12-m)/3-km]x+4[2(12-m)/3-km]^2-48=0,①
这个关于x的方程有等根，
∴△/16=4k^2*[2(12-m)/3-km]^2-(3+4k^2){[2(12-m)/3-km]^2-12}
=12(3+4k^2)-3[2(12-m)/3-km]^2
=3[12+16k^2-4(12-m)^2/9+4km(12-m)/3-k^2*m^2]
=0,
∴(16-m^2)k^2+4km(12-m)/3+12-4(12-m)^2/9=0,
设PA,PB的斜率分别是k1,k2,则
k1+k2=4m(12-m)/[3(m^2-16)],k1k2=[12-4(12-m)^2/9]/(16-m^2).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由①，x1=-4k1[2(12-m)/3-k1m]/(3+4k1^2),
x2=-4k2[2(12-m)/3-k2m]/(3+4k2^2),
∴AB的中点M的坐标：
x=(x1+x2)/2=-2k1[2(12-m)/3-k1m]/(3+4k1^2)-2k2[2(12-m)/3-k2m]/(3+4k2^2)
=-2{k1(3+4k2^2)[2(12-m)/3-k1m]+k2(3+4k1^2)[2(12-m)/3-k2m]}/[(3+4k1^2)(3+4k2^2)]
=-2{(k1+k2)(3+4k1k2)*2(12-m)/3-m[(3+4k2^2)k1^2+(3+4k1^2)k2^2]}/[9+12(k1^2+k2^2)+16k1^2k2^2]
=-2{(k1+k2)(3+4k1k2)*2(12-m)/3-m[3(k1+k2)^2-6k1k2+8(k1k2)^2]}/[9+12(k1+k2)^2-24k1k2+16(k1k2)^2]可化为f(m).
仿上，由（*)可得y=(y1+y2)/2=g(m),
由两式消去m,就得动点M的轨迹方程。
甚繁，把计算留给有兴趣的人。

Answer 2

不知你有没有学过椭圆上切线求法呢？
用到的是隐函数求导：X^2/24 +y^2/16=1，移项：y^2=1-x^2/24
两面对y求导，把x看作y的函数：得(2y*y‘)/24=(-x)/12,这一步原因是左边是y=x^2的复合形式，先求外层后求内层。得y’=(-2x)/(3y） 说明椭圆切线斜率满足这个方程。
设A（x1，y1）B（x2，y2）M（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）p（x0，y0）
由于P是直线上任意一点，其坐标只满足x/12 +y/8 =1推出2x+3y=24----------①
过点A斜率k1=y1‘=(-2x1)/(3y1） =(y0-y1)/(x0-x1) 乘出来有3y1y0-3y1^2=-2x1x0+2x1^2-------②
同理，过B建立方程3y2y0-3y2 ^2=-2x2x0+2x2 ^2------③(很快写出，因为把上面的y1替换成y2，x1化成x2不就行了)（要凑成M的形式必须做加法）
②+③，得3(y1+y2)y0+2(x1+x2)x0=96----④(这个96是怎么来的，是因为不要忘了AB在椭圆上，你看化简的之前②+③右边的式子是椭圆方程的多少倍啊。)
这时我们回头开始关注我们没有用到的①。
④式两边同时除以4.化成
[(3/2)((y1+y2)/2)]y0+[(x1+x2)/2]x0=24
对比①我们不难看出，x0，y0是直线上任意一点。他们的关系只满足该直线的方程。所以，有
[(3/2)((y1+y2)/2)]/[(x1+x2)/2]=3/2
ym=xm 即 y=x就是M点轨迹方程
（耐人寻味的一点：这道题目你有没有发现所给的直线的斜率和椭圆切线斜率的前面的系数是一样的，这样你逆着算数过程找回去你会发现，只有斜率是-2/3的斜线上的点做出椭圆的切线才能化简求出中点轨迹方程。）
我的回答你满意吗？