Question

y=x^2-x/x^2-x+1值域

Answer 1

【ps：补充完毕】

【不好意思，看到题目时太晚了】

加上括号应为y=(x²-x)/(x²-x+1)吧

解：
一般解法：y=(x²-x)/(x²-x+1)
y(x²-x+1)=x²-x
yx²-yx+y-x²+x
(y-1)x²-(y-1)x+y=0

因为原函数定义域为一切实数，所以关于x的方程有实数解
所以 △=(y-1)²-4y(y-1)≥0
(y-1)(-3y-1)≥0
y-1≥0，-3y-1≥0或y-1≤0，-3y-1≤0
y≥1，y≤-1/3，或 y≤1，y≥-1/3
所以不等式解集 -1/3≤y≤1

所以函数值域 -1/3≤y≤1

特殊解法：
发现分子和分母中都有x²-x，故取倒数
1/y=(x²-x+1)/(x²-x)
=1+【1/(x²-x)】

因为 x²-x=(x²-x+1/4)-1/4=(x-1/2)²-1/4
所以 -1/4≤x²-x≤+∞
所以 -4≤1/(x²-x)≤0
所以 -3≤1+【1/(x²-x)】≤1
所以 -3≤1/y≤1
所以 -1/3≤y≤1

总结：对于y=(ax²+bx+c)/(dx²+ex+f)求值域
一般化成y(dx²+ex+f)=(ax²+bx+c)
(dy-a)x²+(ey-b)x+(f-c)=0
利用 △≥0，解一元二次不等式求出答案

若恰好有 a/d=b/e（即ax²+bx整除dx²+ex）
可化成 y=k+【t/(dx²+ex+f)】的形式（k=a/d=b/e，t为常数）
求解

【希望对你有帮助】

Answer 2

函数值域 -1/3≤y≤1