Question

一道数学问题

如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GC的长．

Answer 1

1证明：连结OC，如图，

∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠BCD=90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠2，
∵AC弧=CE弧，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；
（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，
∴DF=1/2*AF=1

∴AD=√3DF=√3

∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即√3:AG=1:2

∴AG=2√3

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追问

看清楚点，求GC的长
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追答

根据切割线定理
CG²=AG*BG
（需要直径AB的长度）
AD=√3
DF=1
FA=FC=2
∴CD=3
∵∠ACB=90°
CD⊥AB
∴CD²=AD*BD(射影定理）
BD=3√3
∴AB=4√3
CG²=AG*BG
=2√3*（2√3+4√3）=36
CG=6
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追问

你能说另一种方法吗，我才初三，

追答

初三没学过切割线定理？

追问

没有

追答

那用勾股定理
在直角△CGD中

CG²=CD²+GD²
AD=√3
DF=1
FA=FC=2
∴CD=3
AD=√3

AG=2√3
GD=3√3
CG²=CD²+GD²=9+27=36
CG=6
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追问

AG为什么等于2√3

追答

解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，
∴DF=1/2*AF=1
∴AD=√3DF=√3
∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即√3:AG=1:2
∴AG=2√3

追问

为什么DA：AG=DF：CF
我没学过相似三角形

追答

两直线平行，所夹线段成比例
只能解释到这了
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