Question

用定义证明，当x 趋于负无穷时，二的x次方的极限等于零

Answer 1

证明：

对任给的 ε>0 (ε<1)，为使

|2^x| <= 2^x < ε，

只需 x < lnε/ln2，于是，取 X = -lnε/ln2 > 0，则当 x < -X 时，有

|2^x| <= 2^x < 2^X = ε，

根据极限的定义，成立

lim(x→-∞) 2^x = 0。

x趋于负无穷时,lim2的x次方=0

考虑

|2^x-0|
=2^x

先限制x的范围：x0,取X=max{-log2(ε),0}≥0。

1、恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接带入分母，可以通过下面几个小方法解决：

（1）因式分解，通过约分使分母不会为零。

（2）若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

（3）以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

2、通过已知极限。

特别是两个重要极限需要牢记。

3、采用洛必达法则求极限。

洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

Answer 2

X趋于负无穷，即负X趋于正无穷，二的X次方就是二的负X次方的倒数，二的负X次方趋于正无穷，那么二的X次方趋于零。

追问

谢谢了

追答

要西

追问

Answer 3

　　用极限的定义证明：对任给的 ε>0 (ε<1)，为使
　　　　|2^x| <= 2^x < ε，
只需 x < lnε/ln2，于是，取 X = -lnε/ln2 > 0，则当 x < -X 时，有
　　　　|2^x| <= 2^x < 2^X = ε，
根据极限的定义，成立
　　　　lim(x→-inf.) 2^x = 0。