Question

已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度，角EDF绕D

点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，当角EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E时，易证S三角形DEF＋S三角形CEF＝1/2S三角形ABC，当角EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S三角形DEF、S三角形CEF、S三角形ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，需证明。

Answer 1

在图2中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2 仍然成立证明：连接CD∵Rt△ABC中，AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形又∵D为AB边的中点∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°又∵∠EDF＝90°∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF∴△CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF＋S△CEF=S△CDE＋S△CDF=S△BDF＋S△CDF=S△BCD=S△ABC/2得证在图3中S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2 不成立猜想 S△DEF-S△CEF＝S△ABC/2证明：连接CD同理易得 △CDE≌△BDF∴S△CDE=S△BDF∴S△DEF=S多边形CEFBD∴S△DEF-S△CEF=S△BCD=S△ABC/2得证

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