Question

大学数学问题

Answer 1

1。求极限x→0lim[(tanx-x)/(xsin²x)]
解：x→0lim[(sinx-xcosx)/(xcosxsin²x)]=x→0lim[(xsinx)/(cosxsin²x-xsin³x+2xcos²xsinx)]
=x→0lim[x/(cosxsinx-xsin²x+2xcos²x)]=x→0lim[x/(xcosx-x³+2x-2xsin²x)]
=x→0lim[1/(cosx-x²+2-2sin²x)]=1/2
【原题可能有误！分母上的sinx²似乎应该是sin²x，不然求不出来】。
2。设y=ln(secx+tanx)，求y'，y''.
【(secx)'=secxtanx=sec²xsinx，secxcosx=1】
解：y'=(secxtanx+sec²x)/(secx+tanx)=(sec²xsinx+sec²x)/(secx+sinxsecx)=(secxsinx+secx)/(1+sinx)
y''=[(1+sinx)(sec²xsin²x+1+sec²xsinx)-(secxsinx+secx)(cosx)]/(1+sinx)²
=[(1+sinx)(sec²xsin²x+sec²xsinx+1)-(sinx+1)]/(1+sinx)²=(sec²xsin²x+sec²xsinx)/(1+sinx)
=(sec²xsinx)(sinx+1)/(1+sinx)=sec²xsinx.
3。设x=t²+2t，y=t+ln(1+t²)，求dy/dx及d²y/dx².
解：dy/dx=y'=(du/dt)/(dx/dt)=[1+2t/(1+t²)]/(2t+2)=1/[2(t+1)]+t/(t²+1)(t+1)=1/[2(t+1)]+t/(t³+t²+t+1)
d²y/dx²=(dy'/dt)/(dx/dt)={-1/[2(t+1)²]+[(t³+t²+t+1)-t(3t²+2t+1)]/(t³+t²+t+1)²}/(2t+2)
={-1/[2(t+1)²]+[(t²+1)(t+1)-3(3t²+2t+1)]/[(t²+1)(t+1)]²}/[2(t+1)]
=-1/(t+1)+1/[2(t²+1)(t+1)²]-3(3t²+2t+1)/[2(t²+1)(t+1)³]
5。设xy-sin(2x+3y)=5，求y'
解：设F(x，y)=xy-sin(2x+3y)-5=0
则y'=dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=[y-2cos(2x+3y)]/[x-3cos(2x+3y)]
6。计算【0，1】∫dx/√(4-x²)
解：令x=2sinu，则dx=2cosudu；x=0时u=0；x=1时u=π/6，故
原式=【0，π/6】∫2cosudu/√(4-4sin²u)=【0，π/6】∫cosudu/cosu=【0，π/6】∫du=u=π/6.
7。∫xcos2xdx
解：原式=(1/2)∫xd(sin2x)=(1/2)[xsin2x-∫sin2xdx]=(1/2)[xsin2x-(1/2)∫sin2xd(2x)]
=(1/2)[xsin2x+(1/2)cos2x]+C=(1/4)(2xsin2x+cos2x)+C
8。求y''-2y'-3y=3x+1的一个特解
解：我们用待定系数法求它的一个特解。
∵c=-3≠0，∴设特解为y*=bo+b₁x； 代入原方程的：
-2b₁-3(bo+b₁x)=3x+1，即有-2b₁-3bo-3b₁x=3x+1；
对应项系数相等：-2b₁-3bo=1........(1)；-3b₁=3.........(2)；
由(2)得b₁=-1，代入(1)时得bo=(1/3)(2-1)=1/3.
于是得特解为y*=1/3-x.