Question

高中双曲线题

如图，直线l：y=根号3（x-2）和双曲线C：x�0�5/a�0�5-y�0�5/b�0�5=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，且|AB|=根号3，又l关于直线l1：y=b/ax对称的直线l2与x轴平行（1）求双曲线C的离心率（2）求双曲线C的方程求详细过程..谢谢...

Answer 1

解：（1）直线l：y = √3(x – 2)，倾斜角为arctan(√3) = π/3，l关于直线l1：y=bx/a对称的直线l2与x轴平行，因为直线l­2的倾斜角为0，所以直线l1的倾斜角为(π/3 + 0)/2 = π/6，所以kl1 = tan(π/6) = b/a，即b/a = √3/3，设b = k（k > 0），则a = √3k，c2 = a2 + b2 = 3k2 + k2 = 4k2 => c = 2k => 双曲线C的离心率e = c/a = 2k/√3k = 2√3/3 ；
（2）设法同（1），所以双曲线C：x2 /a2 – y2 /b2 = 1 => x2 /3k2 – y2 /k2 = 1 => x2 – 3y2 = 3k2，与y = √3(x – 2)联立可得x2 – 3*3(x – 2)2 = 3k2 => 8x2 – 36x + 3k2 + 36 = 0，Δ= 362 – 32(3k2 + 36) = 144 – 96k2 > 0 => 96k2 < 144 => k2 < 3/2 => k∈(0，√6/2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由弦长公式可得AB = √(1 + 3)*√(144 – 96k2)/8 = √3*√(3 – 2k2) = √3 => √(3 – 2k2) = 1 => 3 – 2k2 = 1 => 2 = 2k2 => k2 = 1 => k = 1 => 双曲线的方程为x2 /3 – y2 = 1 。

Answer 2

我找的是临界状态：设要送到Q点，即PA+AQ=PB+BQ
AB为x轴，中垂线为y轴
因为AQ+50=PB所以QA=BQ+50
即a=50/2=25得双曲线的一支
如图，c=AB/2=25根7(用余弦求)
可知
b方=625*7-625=3750
x方/625-y方/3750=1（x小于0）