Question

数学题求详解过程。

已知双曲线x2/a2 -y2/b2=1
，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为
难道没有人来回答？

Answer 1

设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n)

Answer 2

考点：椭圆的简单性质．

专题：计算题；压轴题．

分析：根据题意，设P（acosβ，bsinβ），M（acosα，bsinα），因为M、N是椭圆上关于原点对称的两点，则N（-acosα，-bsinα），进而由斜率公式表示出k1、k2的值，计算可得k1•k2的值，由基本不等式，可得|k1|+|k2|的最小值为2 √（k1•k2） ，结合题意，丨k1|+|k2|的最小值为1，得到2b/ a =1，计算可得答案．

解答：解：设P（acosβ，bsinβ），M（acosα，bsinα），则N（-acosα，-bsinα），
可得k1＝b(sinβ−sinα) / a(cosβ−cosα)
K2＝b(sinβ+sinα) / a(cosβ+cosα) ，
|k1|•|k2|＝|b²(sin²β−sin²α) / a²(cos²β−cos²α) | ＝b² / a² ，
∴|k1|+|k2|≥22√丨k1k2丨 ＝2b/ a⇒2b /a ＝1⇒e＝√3 /2 ．

点评：本题考查椭圆的有关性质，涉及三角函数的运算与不等式的有关知识，有一定的难度，注意加强训练．

Answer 3

解：双曲线关于原点对称的.
∵A,B连线经过坐标原点
∴A,B关于原点对称
设A,P坐标分别为A(x1,y1),P(x2,y2)
那么B坐标为 (-x1,-y1)
则K(PA)=(y2-y1)/(x2-x1)
K(PB)=(y2+y1)/(x2+x1)
K(PA)·K(PB)=[(y2-y1)/(x2-x1)]·[(y2+y1)/(x2+x1)]
=[(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2]
已知 K(PA)·K(PB)=2/3
∴ [(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2]=2/3 ①
∵A,B,P在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上
∴(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 ②
(x2)^2/a^2-(y2)^2/b^2=1 ③
③-②得：
[(x2)^2-(x1)^2]/a^2-[(y2)^2-(y1)^2]/b^2=0
移项，得 [(x2)^2-(x1)^2]/a^2=[(y2)^2-(y1)^2]/b^2
从而 b^2/a^2=[(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2] ④
由①④得 b^2/a^2=2/3
∵ c^2=a^2+b^2
∴ c^2=a^2+2/3*a^2=5/3*a^2
从而 c^2/a^2=5/3
又 e=c/a
由 即e^2=5/3
∴e=√(5/3)=√(15)/3
所以该双曲线的离心率=√15/3